Logaritmen en exponentiële vergelijkingen begrijpen
Na deze les: Je berekent een onbekende exponent met logaritmen.
Voor je begint: Functies als verbanden
Ken invoer, uitvoer, domein en bereik. Een tabel, formule en grafiek kunnen hetzelfde verband tonen, maar leggen andere eigenschappen bloot.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Een logaritme beantwoordt een machtsvraag: tot welke exponent moet je een grondtal verheffen om een bepaalde uitkomst te krijgen? Je isoleert eerst de macht en neemt daarna aan beide kanten dezelfde logaritme. Dat mag ln of log met grondtal 10 zijn. Met de logaritmeregel voor machten haal je de onbekende exponent naar voren, waarna een gewone vergelijking overblijft.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Isoleer de volledige macht.
- Neem aan beide kanten dezelfde logaritme en haal de exponent naar voren.
- Los op en controleer of afronden bij de context past.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Wanneer bereikt \(N(t)=100\cdot1{,}2^t\) de waarde 250?
- Deel door 100: \(1{,}2^t=2{,}5\).
- Neem ln: \(t\ln(1{,}2)=\ln(2{,}5)\). Dus t≈5,03.
- Bij continue tijd is dit ongeveer 5,03 perioden. Tel je alleen hele perioden, dan wordt de grens voor het eerst na 6 perioden bereikt.
Zo controleer je het: Bij t=5 krijg je 248,832, net onder 250. De berekende grens ligt terecht iets boven 5.
Een veelgemaakte fout
ln(a+b) kun je niet splitsen in ln(a)+ln(b). Het argument van een reële logaritme moet positief zijn.
Verdieping en verantwoord gebruik
Een functie is een afbeelding, geen losse formule. Onderzoek gevoeligheid met \(\Delta y/\Delta x\) en wees voorzichtig met extrapolatie buiten het meetgebied.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Los \(3\cdot2^x=24\) exact op.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
Na delen door 3 staat 2^x=8=2³. Dus x=3, ook te vinden als ln(8)/ln(2).
HAVO 4 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.