Bayes en omgekeerde kansen begrijpen
Na deze les: Je keert een voorwaardelijke kans om met een kansboom of een aantallentabel.
Voor je begint: Kans en onzekerheid
Maak onderscheid tussen gebeurtenis, kans, onafhankelijkheid en voorwaardelijke kans. Een percentage zonder populatie en noemer is onvolledig.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
De kans op een positief testresultaat bij ziekte is iets anders dan de kans op ziekte bij een positief resultaat. De tweede vraag selecteert alleen de positieve uitslagen. Daarin zitten zowel echte als onterecht positieve resultaten. Je moet daarom ook weten hoe vaak de ziekte vooraf voorkomt. Rekenen met een denkbeeldige groep van bijvoorbeeld 1000 of 10000 personen maakt de noemer overzichtelijk.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Splits op basis van de voorafkans de populatie in twee groepen.
- Bereken hoeveel positieve uitslagen uit elke groep komen.
- Deel de echte positieve uitslagen door alle positieve uitslagen.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
1% van 10000 personen heeft een aandoening. Een test vindt 90% daarvan en geeft bij 5% van de anderen een positieve uitslag. Wat is P(ziek|positief)?
- Er zijn 100 zieken en 9900 niet-zieken.
- De test geeft 90 echte en 495 onterechte positieve uitslagen, samen 585.
- De gevraagde kans is 90/585=2/13≈15,38%.
Zo controleer je het: De uitkomst ligt veel lager dan de gevoeligheid 90%, omdat de grote gezonde groep veel valspositieven oplevert.
Een veelgemaakte fout
Verwissel P(positief|ziek) niet met P(ziek|positief). De noemer moet alle positieve uitslagen bevatten.
Verdieping en verantwoord gebruik
Bayes' regel \(P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\) maakt basisfrequenties zichtbaar. Een kansmodel geeft geen zekerheid.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Van 100 rode en 100 blauwe ballen draagt 80% van de rode en 20% van de blauwe een stip. Hoe groot is P(rood|stip)?
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
Er zijn 80 rode en 20 blauwe met stip. De kans is 80/100=0,8.
VWO 5 · Wiskunde A · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.