Afgeleiden en raaklijnen begrijpen
Na deze les: Je berekent een afgeleide en gebruikt die om een raaklijn op te stellen.
Voor je begint: Analyse en verandering
Herhaal functies, grafieken, hellingen en limieten. Een afgeleide beschrijft lokale verandering; controleer welke grootheden en eenheden veranderen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
De functiewaarde vertelt hoe hoog de grafiek ligt; de afgeleide vertelt hoe snel die hoogte verandert. De afgeleide in een punt is de helling van de raaklijn. Een positieve afgeleide betekent lokaal stijgen en een negatieve afgeleide dalen. Om de raaklijn te tekenen heb je twee gegevens nodig: het raakpunt en de helling daar. De afgeleide alleen geeft nog geen lijnvergelijking.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Differentieer iedere term; een constante wordt nul.
- Bereken f(p) voor de hoogte en f′(p) voor de helling.
- Vul beide in de raaklijnformule in en vereenvoudig.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Geef de raaklijn aan \(f(x)=x^2+3x\) bij x=2.
- De afgeleide is f′(x)=2x+3.
- Het raakpunt is (2,10) en de helling is f′(2)=7.
- De lijn is y−10=7(x−2), oftewel y=7x−4.
Zo controleer je het: De lijn en de grafiek gaan beide door (2,10). De lijn heeft daar dezelfde helling als de grafiek.
Een veelgemaakte fout
Gebruik de afgeleide voor de helling en de oorspronkelijke functie voor de hoogte. Die twee getallen zijn meestal verschillend.
Verdieping en verantwoord gebruik
De afgeleide \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is een limiet. Numerieke benaderingen hebben foutbronnen en kunnen instabiel worden.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Bepaal de raaklijn aan f(x)=x³ bij x=1.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
f′(x)=3x², dus helling 3 en raakpunt (1,1). De raaklijn is y=3x−2.
HAVO 4 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.