Een exponentieel model opstellen begrijpen
Na deze les: Je stelt uit twee metingen een exponentieel model op.
Voor je begint: Functies als verbanden
Ken invoer, uitvoer, domein en bereik. Een tabel, formule en grafiek kunnen hetzelfde verband tonen, maar leggen andere eigenschappen bloot.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
De verhouding tussen metingen geeft de factor over het hele tijdsinterval. Voor een factor per jaar of uur neem je een wortel die past bij het aantal tijdseenheden. Met die factor en een bekende beginwaarde bouw je het model. Een tijdgrens vind je met logaritmen. Vermeld bij de conclusie of tijd continu is of dat alleen hele meetmomenten meetellen.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Noteer beide waarden en het tijdsverschil.
- Bereken de totale factor en daarna de factor per tijdseenheid.
- Stel het model op en gebruik zo nodig logaritmen voor een tijdgrens.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Een populatie groeit in twee jaar van 100 naar 144. Wanneer is zij verdubbeld?
- De tweejaarsfactor is 1,44, dus de jaarfactor is \(\sqrt{1{,}44}=1{,}2\).
- Het model is \(N(t)=100\cdot1{,}2^t\). Verdubbelen vraagt \(1{,}2^t=2\).
- Daaruit volgt \(t=\ln2/\ln1{,}2\approx3{,}80\) jaar.
Zo controleer je het: Het model geeft na twee jaar precies 144. De verdubbeling valt tussen het derde en vierde jaar.
Een veelgemaakte fout
Een factor 1,44 over twee jaar betekent geen 44% per jaar. Een factor deel je niet door het aantal tijdseenheden.
Verdieping en verantwoord gebruik
Een functie is een afbeelding, geen losse formule. Onderzoek gevoeligheid met \(\Delta y/\Delta x\) en wees voorzichtig met extrapolatie buiten het meetgebied.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Een hoeveelheid daalt in twee uur van 500 naar 405. Geef het model per uur.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
De uurfactor is \(\sqrt{405/500}=0{,}9\). Dus \(N(t)=500\cdot0{,}9^t\).
HAVO 5 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.