Trekken zonder terugleggen begrijpen
Na deze les: Je berekent kansen bij trekken zonder terugleggen met combinaties.
Voor je begint: Kans en onzekerheid
Maak onderscheid tussen gebeurtenis, kans, onafhankelijkheid en voorwaardelijke kans. Een percentage zonder populatie en noemer is onvolledig.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Bij een steekproef zonder terugleggen veranderen de kansen na iedere trekking. Als de volgorde van de selectie niet van belang is, tel je rechtstreeks hoeveel ongeordende steekproeven gunstig zijn. Kies k successen uit de succesgroep en de rest uit de andere groep. Deel dit door alle selecties van dezelfde grootte. Zo voorkom je een lange kansboom met veel verschillende volgorden.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Noteer populatiegrootte N, aantal successen K en steekproefgrootte n.
- Tel de gunstige selecties met twee combinaties.
- Deel door alle combinaties van n uit N.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Een doos heeft 4 rode en 6 blauwe ballen. Je trekt er 3 zonder terugleggen. Wat is de kans op precies 2 rode?
- Kies 2 rode uit 4: 6 mogelijkheden.
- Kies daarnaast 1 blauwe uit 6: 6 mogelijkheden. Samen 36 gunstige selecties.
- Er zijn \(\binom{10}3=120\) selecties. De kans is 36/120=0,3.
Zo controleer je het: De kansboom met de drie mogelijke posities voor de blauwe bal geeft dezelfde 0,3.
Een veelgemaakte fout
Gebruik hier geen vaste kans p=0,4 voor elke trekking; de voorraad verandert zonder terugleggen.
Verdieping en verantwoord gebruik
Bayes' regel \(P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\) maakt basisfrequenties zichtbaar. Een kansmodel geeft geen zekerheid.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Uit 5 rode en 5 blauwe trek je er 2. Wat is de kans op twee rode?
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
\(\binom52/\binom{10}2=10/45=2/9\).
VWO 5 · Wiskunde A · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.