Parameter en rakende grafieken begrijpen
Na deze les: Je berekent een parameter waarvoor twee grafieken elkaar raken.
Voor je begint: Analyse en verandering
Herhaal functies, grafieken, hellingen en limieten. Een afgeleide beschrijft lokale verandering; controleer welke grootheden en eenheden veranderen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Bij raken hebben twee gladde grafieken in hetzelfde punt dezelfde hoogte én dezelfde helling. Met alleen gelijke hoogte vind je alle snijpunten; met alleen gelijke helling kunnen de grafieken nog naast elkaar liggen. Je combineert beide voorwaarden. Bij een lijn en een parabool kun je ook de discriminant van de snijvergelijking op nul zetten: er is dan één dubbel snijpunt.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Bereken beide afgeleiden en stel de hellingen gelijk.
- Gebruik de gevonden x in de vergelijking voor gelijke hoogten.
- Bepaal de parameter en controleer raakpunt en helling.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Voor welke k raken y=x² en y=6x+k elkaar?
- Gelijke hellingen: 2x=6, dus het raakpunt heeft x=3.
- Gelijke hoogten: 9=18+k. Daarom k=−9.
- Het raakpunt is (3,9). Beide afgeleiden zijn daar 6.
Zo controleer je het: De snijvergelijking wordt x²−6x+9=(x−3)²=0. De dubbele oplossing bevestigt het raken.
Een veelgemaakte fout
Vul de parameter niet al in voordat je de tweede voorwaarde hebt gebruikt. Raken vraagt zowel gelijke hoogte als gelijke helling.
Verdieping en verantwoord gebruik
De afgeleide \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is een limiet. Numerieke benaderingen hebben foutbronnen en kunnen instabiel worden.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Welke k maakt y=4x+k een raaklijn aan y=x²?
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
2x=4 geeft x=2. Uit 4=8+k volgt k=−4. Het raakpunt is (2,4).
HAVO 5 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.