Productregel begrijpen
Na deze les: Je differentieert een product en herkent wanneer de kettingregel erbij nodig is.
Voor je begint: Analyse en verandering
Herhaal functies, grafieken, hellingen en limieten. Een afgeleide beschrijft lokale verandering; controleer welke grootheden en eenheden veranderen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Bij een product veranderen vaak beide factoren tegelijk. De productregel telt daarom twee bijdragen: verandering van de eerste factor met de tweede nog vast, en verandering van de tweede met de eerste nog vast. Het product van de afgeleiden is niet genoeg. Je kunt eenvoudige veeltermen soms eerst uitwerken; bij bijvoorbeeld een veelterm maal e^x is de productregel handiger.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Kies u en v en schrijf hun afgeleiden ernaast.
- Vul beide termen van de productregel volledig in.
- Vereenvoudig of ontbind pas nadat beide bijdragen zijn opgenomen.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Differentieer \(f(x)=x^2e^x\).
- Neem u=x² en v=e^x. Dan u′=2x en v′=e^x.
- Dus \(f^{\prime}(x)=2xe^x+x^2e^x\).
- Haal e^x en x buiten haakjes: \(f^{\prime}(x)=e^xx(x+2)\).
Zo controleer je het: Je ziet in de factorvorm dat de afgeleide nul is bij x=0 en x=−2, omdat e^x nooit nul is.
Een veelgemaakte fout
Bij een factor zoals e^(3x) vraagt het berekenen van v′ óók de kettingregel. Houd de productregel en binnenafgeleide apart.
Verdieping en verantwoord gebruik
De afgeleide \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is een limiet. Numerieke benaderingen hebben foutbronnen en kunnen instabiel worden.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Differentieer \(g(x)=x\sin x\).
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
\(g^{\prime}(x)=\sin x+x\cos x\), met x in radialen.
HAVO 5 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.