Quotiëntregel begrijpen
Na deze les: Je differentieert een quotiënt en bewaakt het domein.
Voor je begint: Analyse en verandering
Herhaal functies, grafieken, hellingen en limieten. Een afgeleide beschrijft lokale verandering; controleer welke grootheden en eenheden veranderen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Bij een breuk van twee functies verandert zowel de teller als de noemer. Een grotere noemer verkleint de breuk; dat verklaart het minteken in de quotiëntregel. Noteer de oorspronkelijke noemerbeperking voordat je vereenvoudigt. Soms is herschrijven naar machten of delen van veeltermen eenvoudiger, maar de quotiëntregel werkt algemeen als de functies differentieerbaar zijn en de noemer niet nul is.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Noteer teller u, noemer v en het domein.
- Bereken u′ en v′ en vul de regel met haakjes in.
- Werk de teller zorgvuldig uit en vereenvoudig.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Differentieer \(f(x)=x^2/(x+1)\).
- Het domein is x≠−1. Neem u=x², u′=2x, v=x+1 en v′=1.
- De teller wordt \(2x(x+1)-x^2\), de noemer (x+1)².
- Dus \(f^{\prime}(x)=x(x+2)/(x+1)^2\), nog steeds met x≠−1.
Zo controleer je het: Door eerst te delen krijg je f(x)=x−1+1/(x+1). Differentiëren daarvan geeft dezelfde uitkomst.
Een veelgemaakte fout
Het minteken hoort vóór het hele product uv′. De noemer wordt gekwadrateerd, niet gedifferentieerd.
Verdieping en verantwoord gebruik
De afgeleide \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is een limiet. Numerieke benaderingen hebben foutbronnen en kunnen instabiel worden.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Differentieer \(g(x)=(x+1)/(x-1)\).
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
\(g^{\prime}(x)=((x-1)-(x+1))/(x-1)^2=-2/(x-1)^2\), voor x≠1.
HAVO 5 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.