Redeneringen en tegenvoorbeelden begrijpen
Na deze les: Je onderscheidt bewijzen van voorbeelden en gebruikt een tegenvoorbeeld.
Voor je begint: Logische voorkennis
Lees “als … dan …” precies en onderscheid implicatie, omkering en equivalentie. Eén tegenvoorbeeld kan een universele bewering weerleggen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Een uitspraak voor alle getallen moet voor elk toegestaan geval gelden. Duizend kloppende voorbeelden bewijzen haar niet, want een volgend geval kan mislukken. Eén geldig tegenvoorbeeld is wel voldoende om haar te weerleggen. Kies het getal slim: test grensgevallen zoals 0, 1, negatieve waarden of breuken, voor zover die binnen het domein vallen.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Lees de kwantor en het domein precies.
- Zoek een eenvoudig geval dat de bewering op de proef stelt.
- Bereken beide kanten en leg uit waarom dit een tegenvoorbeeld of nog geen bewijs is.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Iemand beweert: voor alle positieve x geldt x²≥2x.
- Kies x=1; dit is toegestaan omdat 1 positief is.
- Links staat 1 en rechts 2. Dus 1≥2 is onwaar.
- Daarom is de algemene bewering onwaar. Je hoeft geen andere waarden meer te onderzoeken.
Zo controleer je het: Voor x=3 klopt de ongelijkheid wel, maar dat herstelt de weerlegde uitspraak voor alle positieve getallen niet.
Een veelgemaakte fout
Een voorbeeld buiten het domein telt niet als tegenvoorbeeld. Een rij bevestigende voorbeelden blijft geen algemeen bewijs.
Verdieping en verantwoord gebruik
Een waarheidstabel maakt de betekenis van samengestelde uitspraken expliciet. Geldigheid hangt af van vorm en premissen.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Weerleg: voor alle reële x is √(x²)=x.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
Neem x=−1. Links is √1=1 en rechts −1. De juiste identiteit is √(x²)=|x|.
VWO 5 · Wiskunde C · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.