Binomiale verdeling begrijpen
Na deze les: Je herkent een binomiaal model en berekent een kans op precies k successen.
Voor je begint: Kans en onzekerheid
Maak onderscheid tussen gebeurtenis, kans, onafhankelijkheid en voorwaardelijke kans. Een percentage zonder populatie en noemer is onvolledig.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Een binomiale verdeling telt successen in een vast aantal proeven. Elke proef heeft twee relevante uitkomsten, dezelfde succeskans en onafhankelijkheid van de andere proeven. De kans op één vaste volgorde is p^k(1−p)^(n−k). De combinatiecoëfficiënt telt hoeveel volgorden dezelfde telling opleveren. Zonder terugleggen uit een kleine voorraad zijn de proeven meestal niet binomiaal.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Controleer vast n, twee uitkomsten, constante p en onafhankelijkheid.
- Vertaal precies, minstens of hoogstens naar X.
- Bereken de formule, een som of een complement.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Je werpt viermaal met een eerlijke munt. Wat is de kans op precies drie keer kop?
- Neem X als aantal keer kop: n=4, p=1/2 en k=3.
- Er zijn \(\binom43=4\) posities voor de ene munt.
- De kans is 4·(1/2)³·(1/2)=1/4.
Zo controleer je het: Alle 16 volgorden zijn even waarschijnlijk; vier hebben precies drie keer kop. Dus ook 4/16=1/4.
Een veelgemaakte fout
Minstens drie betekent drie óf vier. De formule voor precies drie omvat de uitkomst vier niet.
Verdieping en verantwoord gebruik
Bayes' regel \(P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\) maakt basisfrequenties zichtbaar. Een kansmodel geeft geen zekerheid.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Wat is bij vijf eerlijke muntworpen de kans op minstens één keer kop?
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
Neem het complement van nul keer kop: 1−(1/2)⁵=31/32.
HAVO 5 · Wiskunde A · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.