Kettingregel begrijpen
Na deze les: Je differentieert een samengestelde functie met de kettingregel.
Voor je begint: Analyse en verandering
Herhaal functies, grafieken, hellingen en limieten. Een afgeleide beschrijft lokale verandering; controleer welke grootheden en eenheden veranderen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Een samengestelde functie heeft een binnenfunctie en een buitenfunctie. Bij (3x+1)^4 is 3x+1 de binnenkant en de vierde macht de buitenkant. Een verandering in x werkt eerst door in de binnenkant en daarna in de buitenkant. Daarom vermenigvuldig je de twee veranderingsfactoren. Je laat de binnenfunctie tijdens de eerste stap intact en differentieert haar daarna apart.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Benoem de binnenfunctie u en de buitenfunctie F.
- Differentieer F en vul daar de ongewijzigde u in.
- Vermenigvuldig met u′ en vereenvoudig.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Differentieer \(f(x)=(3x+1)^4\).
- Kies u=3x+1 en F(u)=u⁴. Dan F′(u)=4u³.
- Vervang u terug: 4(3x+1)³.
- De binnenafgeleide is 3. Dus \(f^{\prime}(x)=12(3x+1)^3\).
Zo controleer je het: Bij x=0 is de helling 12. Kleine veranderingen rond nul leveren ongeveer twaalfmaal zoveel verandering van f op.
Een veelgemaakte fout
Vergeet de binnenafgeleide niet. De exponent van de binnenfunctie verandert niet tijdens de eerste stap.
Verdieping en verantwoord gebruik
De afgeleide \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is een limiet. Numerieke benaderingen hebben foutbronnen en kunnen instabiel worden.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Differentieer \(g(x)=\sqrt{2x+5}\) en vermeld waar de afgeleide bestaat.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
\(g^{\prime}(x)=1/\sqrt{2x+5}\), voor x>−5/2. De functie bestaat ook op de grens, maar de afgeleide daar niet als eindig getal.
HAVO 5 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.