Delen en complexe wortels begrijpen
Na deze les: Je deelt complexe getallen en bepaalt de moduli en argumenten van wortels.
Voor je begint: Complexe getallen
Herhaal reële rekenregels en onthoud \(i^2=-1\). Houd reëel deel, imaginair deel, modulus en argument uit elkaar.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Vermenigvuldig bij delen teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer. Daardoor wordt de noemer een positief reëel getal, zolang hij niet nul was. Bij een n-de wortel neem je de n-de wortel van de modulus en verdeel je de mogelijke hoeken. Eén complex getal ongelijk aan nul heeft n verschillende n-de wortels.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Controleer dat de noemer niet nul is en bepaal de geconjugeerde.
- Vermenigvuldig teller en noemer ermee.
- Vereenvoudig naar a+bi; gebruik voor wortels alle k=0 tot en met n−1.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Bereken (3+i)/(1−i).
- Vermenigvuldig boven en onder met 1+i.
- De teller wordt 3+3i+i+i²=2+4i. De noemer is 1−i²=2.
- De uitkomst is 1+2i.
Zo controleer je het: Terugvermenigvuldigen geeft (1+2i)(1−i)=3+i, de oorspronkelijke teller.
Een veelgemaakte fout
Vermenigvuldig niet alleen de noemer met de geconjugeerde. Bij wortels zijn meerdere hoeken nodig.
Verdieping en verantwoord gebruik
In poolvorm worden moduli vermenigvuldigd en argumenten opgeteld. Complexe getallen breiden het getalsysteem uit.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Geef de twee wortels van −4 en hun modulus.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
2i en −2i. Beide hebben modulus 2=√4 en hun kwadraat is −4.
VWO 6 · Wiskunde D · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.