Poolvorm en De Moivre begrijpen
Na deze les: Je gebruikt modulus en argument om complexe machten te berekenen.
Voor je begint: Complexe getallen
Herhaal reële rekenregels en onthoud \(i^2=-1\). Houd reëel deel, imaginair deel, modulus en argument uit elkaar.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
Een complex getal kun je naast coördinaten ook beschrijven met een afstand r en een hoek θ. Bij vermenigvuldigen vermenigvuldig je de afstanden en tel je de hoeken op. Herhaald toepassen geeft de formule van De Moivre. Hoeken die 2π verschillen beschrijven hetzelfde getal. Een argument hoeft daarom niet uniek te zijn; vermeld zo nodig het gevraagde interval.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Bepaal modulus en argument in het juiste kwadrant.
- Verhef de modulus tot n en vermenigvuldig het argument met n.
- Reduceer de hoek modulo 2π en zet zo nodig terug naar a+bi.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Bereken \(z^3\) voor \(z=2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))\).
- De nieuwe modulus is 2³=8.
- Het nieuwe argument is 3·π/3=π.
- Omdat cosπ=−1 en sinπ=0 is z³=−8.
Zo controleer je het: De uitkomst heeft modulus 8 en wijst langs de negatieve reële as. Dat past bij argument π.
Een veelgemaakte fout
Verhef het argument niet tot de macht; vermenigvuldig het met n. Het getal nul heeft geen bepaald argument.
Verdieping en verantwoord gebruik
In poolvorm worden moduli vermenigvuldigd en argumenten opgeteld. Complexe getallen breiden het getalsysteem uit.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Bepaal (1+i)² via poolvorm.
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
1+i heeft modulus √2 en argument π/4. Kwadrateren geeft modulus 2 en hoek π/2, dus 2i.
VWO 6 · Wiskunde D · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.