Afgeleiden van e-machten en logaritmen begrijpen
Na deze les: Je differentieert exponentiële en logaritmische functies met een binnenfunctie.
Voor je begint: Analyse en verandering
Herhaal functies, grafieken, hellingen en limieten. Een afgeleide beschrijft lokale verandering; controleer welke grootheden en eenheden veranderen.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
e^x is bijzonder: de afgeleide is weer e^x. Bij e^u moet je daarnaast de verandering van u meenemen. ln(x) verandert met snelheid 1/x; bij ln(u) wordt dat u′/u. Voor een reële logaritme moet de binnenfunctie positief zijn. Dit domeinonderzoek hoort bij de oplossing, ook wanneer de afgeleide als formule op meer plaatsen lijkt te bestaan.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Herken e-macht of logaritme en benoem de binnenfunctie.
- Differentieer de binnenfunctie.
- Pas de kettingregel toe en noteer de domeinvoorwaarde.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Differentieer \(f(x)=e^{2x}+\ln(3x+1)\).
- Bij e^(2x) is de binnenafgeleide 2, dus de bijdrage is 2e^(2x).
- Bij ln(3x+1) is de binnenafgeleide 3, dus de bijdrage is 3/(3x+1).
- Samen: \(f^{\prime}(x)=2e^{2x}+3/(3x+1)\), op x>−1/3.
Zo controleer je het: Het domein volgt uit 3x+1>0. Bij x=0 is de afgeleide 2+3=5.
Een veelgemaakte fout
ln(u) wordt niet 1/ln(u). Controleer daarnaast of een product of quotiënt om de logaritme heen staat.
Verdieping en verantwoord gebruik
De afgeleide \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) is een limiet. Numerieke benaderingen hebben foutbronnen en kunnen instabiel worden.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Differentieer \(g(x)=\ln(x^2)\).
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
Voor x≠0 is x² positief. Dus \(g^{\prime}(x)=2x/x^2=2/x\), voor x≠0.
HAVO 5 · Wiskunde B · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.