WISKUNDE-ENCYCLOPEDIE · STAP VOOR STAP LEREN

Recursies en evenwichten uitgelegd

Lineaire recursies en hun evenwichtswaarde onderzoeken. Lees de uitleg, bekijk het voorbeeld en oefen daarna zelf.

UITLEG · VOORBEELD · ZELF DOEN

Recursies en evenwichten begrijpen

Na deze les: Je rekent met een recursie en onderzoekt een evenwicht.

Voor je begint: Dynamische systemen

Lees een model als een regel die een toestand naar een volgende toestand brengt. Noteer beginwaarden, tijdstap en eenheden.

Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.

1. Wat betekent dit en waarom werkt het?

Een recursie berekent de volgende toestand uit de huidige. Je hebt een beginwaarde nodig om een concrete rij te bepalen. Een evenwicht L verandert niet meer en voldoet daarom aan dezelfde formule met links en rechts L. Voor de lineaire recursie u_(n+1)=au_n+b vermenigvuldigt de afwijking tot L telkens met a. Bij |a|<1 wordt die afwijking kleiner.

\[u_{n+1}=au_n+b,\qquad L=\frac b{1-a}\ (a\ne1),\qquad u_n-L=a^n(u_0-L)\]

Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.

2. Een aanpak die je kunt volgen

  1. Bereken de eerste termen vanuit de beginwaarde.
  2. Los L=aL+b op voor het evenwicht.
  3. Onderzoek |a| om te bepalen of het evenwicht wordt benaderd.

3. Uitgewerkt voorbeeld

De opgave
u_(n+1)=0,5u_n+3 en u₀=2. Bereken u₂ en het evenwicht.

  1. u₁=0,5·2+3=4.
  2. u₂=0,5·4+3=5.
  3. L=0,5L+3 geeft L=6. Omdat |0,5|<1 nadert de rij 6.

Zo controleer je het: De afwijkingen van 6 zijn −4, −2 en −1: ze halveren inderdaad.

Een veelgemaakte fout

Vul niet steeds opnieuw de beginwaarde in. Bij |a|>1 bestaat een berekend evenwicht wel, maar is het niet aantrekkend.

Verdieping en verantwoord gebruik

Voor \(x_{t+1}=f(x_t)\) zijn evenwichten oplossingen van \(x=f(x)\). Stabiliteit, vertraging en ruis bepalen de interpretatie.

Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?

4. Nu jij

u_(n+1)=0,8u_n+10. Wat is het evenwicht?

Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.

Bekijk het antwoord en de redenering

0,2L=10, dus L=50. De afwijking wordt per stap met 0,8 vermenigvuldigd.

Oefen recursies en evenwichten →

VWO 5 · Wiskunde D · Een bijpassende opgave opent direct.

Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.