Verwachtingswaarde en variantie begrijpen
Na deze les: Je berekent verwachte opbrengst, nettowinst en variantie.
Voor je begint: Kans en onzekerheid
Maak onderscheid tussen gebeurtenis, kans, onafhankelijkheid en voorwaardelijke kans. Een percentage zonder populatie en noemer is onvolledig.
Gebruik een model alleen binnen zijn bedoelde domein. Schrijf bij twijfel op wat je weet, wat je aanneemt en wat je nog moet controleren.
1. Wat betekent dit en waarom werkt het?
De verwachtingswaarde is het langetermijngemiddelde van herhaalde uitkomsten, niet een voorspelling van één afzonderlijke beurt. Vermenigvuldig iedere mogelijke waarde met haar kans. Vaste kosten verlagen de verwachte nettowinst met hetzelfde bedrag, maar veranderen de spreiding niet. De variantie meet de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde; de standaardafwijking is haar wortel.
Lees de formule samen met de uitleg. Benoem wat elk symbool voorstelt voordat je getallen invult.
2. Een aanpak die je kunt volgen
- Maak een tabel van uitkomsten en kansen en controleer dat de kansen optellen tot 1.
- Bereken het gewogen gemiddelde en trek eventuele vaste kosten af.
- Bereken voor de variantie E(X²) en trek het kwadraat van E(X) af.
3. Uitgewerkt voorbeeld
De opgave
Een spel kost €2. Met kans 1/4 ontvang je €10, anders niets. Bereken verwachte nettowinst en variantie.
- De verwachte uitbetaling is 10·1/4=€2,50.
- De verwachte nettowinst is 2,50−2=€0,50 per spel.
- De variantie van de uitbetaling is 100·1/4−2,5²=18,75 euro². Vaste kosten veranderen die niet.
Zo controleer je het: Met netto-uitkomsten 8 en −2 krijg je ook 8/4−(2·3/4)=0,50.
Een veelgemaakte fout
E(X²) is niet hetzelfde als [E(X)]². Een positieve verwachting garandeert geen winst bij één keer spelen.
Verdieping en verantwoord gebruik
Bayes' regel \(P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\) maakt basisfrequenties zichtbaar. Een kansmodel geeft geen zekerheid.
Controleer: zijn definities, eenheden en afrondingen duidelijk? Kan een andere leerling je stappen herhalen? Welke uitzonderingen of onzekerheden kunnen het antwoord veranderen?
4. Nu jij
Je krijgt met kans 0,2 een prijs van €5 en betaalt €1. Wat is de verwachte nettowinst?
Probeer eerst zelf. Schrijf de tussenstappen op en controleer je uitkomst voordat je de uitwerking opent.
Bekijk het antwoord en de redenering
5·0,2−1=€0. Het spel is in verwachting quitte.
HAVO 5 · Wiskunde A · Een bijpassende opgave opent direct.
Officiële oriëntatie: SLO over havo/vwo-curricula · CBS open data en definities. Deze bronnen helpen bij curriculum- en datataal; ze vervangen geen docent, examenreglement of persoonlijke beoordeling.